By Prof. Dr. Ernst Kunz (auth.)

Inhalt
Inhalt: Konstruktion mit Zirkel und Lineal - Auflösung algebraischer Gleichungen - Algebraische und transzendente Körpererweiterungen - Teilbarkeit in Ringen - Irreduzibilitätskriterien - Ideale und Restklassenringe - Fortsetzung der Körpertheorie - Separable und inseparable algebraische Körpererweiterungen - Normale und galoissche Körpererweiterungen - Der Hauptsatz der Galoistheorie - Gruppentheorie - Fortsetzung der Galoistheorie - Einheitswurzelkö rper (Kreisteilungskörper) - Endliche Körper (Galois-Felder) - Au flösung algebraischer Gleichungen durch Radikale.

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R heißt die reguläre Darstellung von L/ K. b) Sei Xa E K[X] das charakteristische Polynom von /1-a. Man nennt es auch das charakteristische Polynom von a. Es gilt Xa(a) = 0. c) Sei {Wt, • .. , Wn} eine Basis von L / K und sei aw; = n I: a;jWj j=l (i = 1, ... ,n;a;j E K) 32 § 3 Algebraische und transzendente Körpererweiterungen Dann ist Xa = det(XEn- (o:;j)), wobei En die n-reihige Einheitsmatrix bezeichnet. d) Ist L = K( a), so ist Xa das Minimalpolynom von a über K. Allgemeiner gilt: e) Ist [L: K(a)] = m und fa das Minimalpolynom von a über K, so ist Xa = f::'.

Bestimmen Sie jeweils ihren größten gemeinsamen Teiler und schreiben Sie diesen als Linearkombination von f und g. 11) Zeigen Sie, daß die Polynome X3 + 2X 2 - X - 1 und X 2 +X - 3 keine gemeinsame Nullstelle in C besitzen, ohne die Nullstellen zu berechnen. h. in C [X] von (X- a) 2 geteilt wird. Zeigen Sie, daß f in K[X] reduzibel ist. 13) Die Möbiussche Funktion 11: N + __... Z ist wie folgt definiert: Es ist p(n) = { ~-1)' fürn=1 wenn n Produkt von r verschiedenen Primzahlen ist wenn n durch das Quadrat einer Primzahl teilbar ist a) Zeigen Sie für n > 1 die Formel Er( d) = 0 ( d durchläuft die positiven Teiler dln von n ).

Norm der endlichen Körpererweiterung L/ K. h. NLjK(ab) = NLjK(a) · NLjK(b). c) Ist Xa = Xt + O:t-1xt- 1 + · · · + o:o, so ist d) Ist fa = xn + ßn-lxn- 1 + · · · + ßo (ß; E K) das Minimalpolynom von a über Kund [L: K(a)] =: m, [L: K] =: t , so gilt SpLjK(a) = -m · ßn-1, NLjK(a) = (-1)tß;' 16) Sei K = Q(Vd) mit d E Q. Für a = o:o +o:1Vd (o:; E Q) berechne man Xa, SPK/Q (a) und NK/Q (a) als Funktionen von o:o und O:J. 33 § 4. Teilbarkeit in Ringen Am Ende von § 3 hat sich gezeigt, daß wir uns mit der Teilbarkeit in Polynomringen befassen müssen.

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