By Hans-Jürgen Schneider

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Example text

Dann wäre aber x1 , . . , xn ∈ Mιm , also Mιm = M , und dies ist ein Widerspruch. Damit ist N ∈ M gezeigt. Daß N eine obere Schranke für die Mι ist, ist nun klar, denn Mι ⊂ N für alle ι ∈ I nach Definition. Definition. Es sei R ein kommutativer Ring. 1. R heißt Integritätsring, wenn R = 0 ist und für alle x, y ∈ R mit xy = 0 bereits x = 0 oder y = 0 gelten muß. 2. Ein Ideal P R heißt Primideal oder prim, wenn es echt ist (P x, y ∈ R aus xy ∈ P bereits x ∈ P oder y ∈ P folgt. R) und für alle 3.

Glaube ich. 5. Z-Algebren sind dasselbe wie Ringe. 6. Für einen kommutativen Ring R und n 1 ist der Ring Mn (R) der n × n-Matrizen über R eine R-Algebra mit der Strukturabbildung   r   R → Mn (R), r → r · E =  . .  . r 7. Wir erinnern an den Polynomring R[x] in einer Unbestimmten über einem kommutativen Ring R mit der folgenden universellen Eigenschaft: ist A ein kommutativer Ring, ρ : R → A ein Ringhomomorphismus und a ∈ A, so gibt es genau einen Ringhomomorphismus ϕ : R[x] → A mit ϕ|R = ρ und ϕ(x) = a, nämlich n n i ϕ( ρ(ri )ai ri x ) = i=0 i=0 für n 0, r0 , .

3 Ringe und Moduln Definition. Es sei M ein R-Linksmodul. 1. Ist I eine Indexmenge und Mι ⊂ M für jedes ι ∈ I ein Untermodul, so heißt xκ | J ⊂ I endlich, xκ ∈ Mκ für alle κ ∈ J Mι := ι∈I κ∈J die Summe der Untermoduln Mι . 2. Für a ∈ M setzt man Ra := {ra | r ∈ A}; dies ist offenbar ein Untermodul. Für eine Teilmenge X ⊂ M bezeichnet man mit X := x∈X Rx den von X erzeugten Untermodul. Im Falle X = {x1 , . . , xn } endlich schreibt man auch x1 , . . , xn := n {x1 , . . , xn } = Rx1 + · · · + Rxn = i=1 Rxi zur Einsparung von Klammern, Tinte und Farbband.

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